Systèmes Hyperstatiques
(SH)



SYSTEMES HYPERSTATIQUES (DETERMINATION
des INCONNUES REDONDANTES )
Classifications des systèmes de barres :
- systèmes de barres isostatiques et hyperstatiques (définition générale)
- systèmes plans, plan- tridimensionnels, tridimensionnels ;
- fermes, portiques (cadres).
Ordre d'hyperstaticité du système :
- liaisons nécessaires (extérieures) assurées par l’invariabilité
géométrique du système et liaisons supplémentaires (extérieures et
intérieures) ;
- hyperstaticité d’un contour plan fermé ;
- diminution de l’ordre d'hyperstaticité du système en présence de
charnière ; les charnières simples (isolées), binaires, etc. ;
- détermination de l’ordre d'hyperstaticité s des systèmes plans d’après
la formule s = 3c - a ( c est le nombre de contours fermés et a est le
nombre d’articulations comptées comme des articulations isolées ;
l’embase (au sol) est considérée comme une barre de rigidité infinie).
Système de barres hyperstatique donné ; système isostatique de
base ; système équivalent.

Méthode des forces :
- principe du minimum de l’énergie potentielle de déformation élastique
du système (théorème de Menabréa) ou principe du travail minimum
(sous forme directe et avec présentation des équations du même
principe par les intégrales de Maxwell-Mohr) ;
- méthode des forces sous forme canonique.
L’équation des trois moments sous sa forme canonique (EIz = const) :
( ) ( gh dr )
Mi−1li + 2Mi li + li+1 + Mi+1li+1 = −6EI z ϑi + ϑi ,
où Mi−1 , Mi et Mi+1 sont les trois moments fléchissants inconnus
supportés par la section d’appuis ( i − 1) , i et ( i + 1) (appliqués aux
extrémités des poutres) ; gh
i ϑ et dr
i ϑ sont les angles de rotation des
extrémités des poutres adjacentes (gauche et droite) à l’appui i et dus
seulement aux charges agissant dans les travées adjacentes.
Les valeurs de gh
i ϑ et dr
i ϑ peuvent être déterminées par n’importe
quelle méthode s’avérant rationnelle pour ce cas. En particulier, par
l’utilisation de la méthode de multiplication des diagrammes, l’équation
des trois moments se transforme selon :
M l M (l l ) M l
a
l
b
l
i i i i i i i
i i
i
i i
i
− + + +
+ +
+
+ + + =− +

⎝ ⎜

⎠ ⎟
1 1 1 1
1 1
1
2 6
ω ω
,
où ωi et ωi+1 sont les aires des diagrammes des moments fléchissants
Mz dus aux charges données pour les i-ième et ( i + 1)-ième travées.
Les dimensions ai et bi+1 sont données dans le dessin.
Les équations des trois moments pour le second et l’avant-dernier
appui d’une poutre continue ne considèrent évidement, que deux
moments.
160 Résistance des matériaux
La résolution du système d’équations ainsi obtenu s’obtient en
déterminant les moments surabondants inconnus Mi agissant sur les
appuis. Connaissant les moments supportés par les extrémités dans le
système équivalent, tous les calculs ultérieurs s’effectuent comme à
l’ordinaire pour un système isostatique quelconque.